October 26, 2011

夜市麻將賓果與EXCEL(十二)--夜市麻將賓果的中獎機率值解出來了!(完結篇)


夜市麻將賓果的中獎機率就是8311601/231995940(理論機率),約等於3.58%



2009/06/30 初次網誌發表
2011/10/26 重新排版修改

縱觀比較 統計機率值 與 理論機率值
首先我們來回顧一下統計的結果,再藉由高中所教的基楚統計學理論,告訴我們信賴區間的範圍。

以下的表將直接摘錄自
夜市麻將賓果與EXCEL()--模擬結束,統計告訴我們什麼結論!完結篇?!

古典機率結果: 總中獎率是      8311601 / 231995940   約為    3.5826493%
      統計結果: 總中獎率約是    240067 / 6695213       約為    3.58565141%


        統計資訊:共實驗
6695213次;
一連線+兩連線+三連線=239093+974+0 = 240067次,未連線(包含聽牌與不聽牌)共6455146次。



 ※     ※     ※

以古典機率求出來的真實中獎率


夜市麻將賓果的理論中獎機率




由統計結果告訴我們的信賴區間

跟據統計學,我們希望得知到底能相信統計結果到什麼地步(即"我們有多大的信心相信這個數據是對的")?
首先我們要先求出實驗數據的"樣本標準差",由於不是中獎便是沒中獎,所以可將其視為一個伯努力試驗。

      統計資訊:共實驗6695213次,成功連線共240067次,中獎率約為    3.58565141%

標準差為



取一倍標準差有68%的機率,古典機率結果 會落在  [3.58565141% ± S ],
即統計有68%的信心,結果落在 3.578% ~ 3.592%之間 。

取兩倍標準差有95%的機率,古典機率結果 會落在  [3.58565141% ± 2*S ],
即統計有95%的信心,結果落在 3.571% ~ 3.600%之間。

取三倍標準差有99.7%的機率,古典機率結果 會落在  [3.58565141% ± 3*S ],
即統計有99.7%的信心,結果落在 3.563% ~ 3.607%之間。


回顧古典機率結果: 總中獎率是  8311601 / 231995940 約為 3.5826493%
確實古典機率結果均落在其中。

以統計的術語來說明結果


接著我們就以統計的術語來說明這個結果:

夜市麻將賓果遊戲,
36張選15張牌,在6*6的表格上,達成連線的機率是3.585%
本次抽樣是以電腦隨機模擬的方式,共模擬
6695213
次,
68   %的信心水準下,最大可能抽樣誤差在正負 0.00718%
之間。
95   %的信心水準下,最大可能抽樣誤差在正負 0.01437%
之間。
99.7%的信心水準下,最大可能抽樣誤差在正負 0.02155%之間。


隨著信心水準的增加,誤差範圍也水漲船高。
但是,別忘了這可是模擬669萬次的統計結果,即使在68%的信心水準下,與古典機率結果的正確性相比,也才正確到小數點下一位而已!看到這樣的結論真的感覺好失落喔~


可想而知,一般大選前的投票率調查,其誤差動不動就在 ± 5% 也就不奇怪了!



         ※     ※     ※
相同卻不同師傅阿~
可是你不覺得統計機率值很粗糙嗎?統計告訴我:有99.7%的機會真實機率值就落在3.563%到3.607%之中;而理論機率值約是3.585%。因為我們都是以百分比來看,誤差連小數點下第一位都無法確立,這還是模擬669萬多次所得出來的結果

不用電腦的話,我們哪有那麼多的資本去得到實驗數據阿!更何況電腦模擬也是要花時間的!669萬次模擬了約三天,要提高可信賴的範圍與模擬次數有關,要提高一個小數位數,模擬次數要增加100!實際上我哪有那麼多的資源阿?我要靠統計方法去逼近真實機率值,我想用超級電腦來跑可能才有一點機會吧!

這樣說的話,統計很差嗎?不,統計是讓我們可以用一個直覺方法,快速的獲得具有一定結果可信賴度的結果。例如:你可以只要模擬少少的1000次,立刻得到大致的中獎機率。

缺點是你永遠也不知道正確答案是多少?
1.414有差嗎?有!當然有,而且差很大!這時很多人會說:沁菜啦~還不是都一樣?這就是看待事情認真態度的差異了!


以要獲得小數點下四位的可信賴值來說,可能就要不眠不休的執行程式超過10年,但以求出真實機率值來看,從我去年11月在傘訓場開始想,到今年六月初完全解完,大約耗費八個月,節省的時間太多太多了!但反過來以輕鬆隨便的角度,若只想獲得大概的中獎機率,那麼靠電腦模擬100萬次也不必花幾小時,又突顯出統計的優勢。

所以,工具都學上手,要運用時就看時機與需求!而我兩種方法都做的目的,是想要在網誌中讓大家看到統計與古典機率得答案,最終將趨近一致!


老闆必勝
之前寫的很多人不了解我的意思,你看喔~理論中獎機率約是3.582%,也就是說平均玩100局中3.582局。
但夜市麻將通常是一局
20元,一次玩五局的話多送你一局,促銷價只要100元。所以多數人都是花100元在玩的這個遊戲的。


中獎機率約是3.582%,若每人均花100元促銷價玩六局,那麼.....
考慮1667人次
中(即約一萬局),中了358隻娃娃。
所以中獎率是 358/1667 = 21.475%,也就是4.656人次就會有 1人中獎

每4.656人次,老闆大約收入近
500元,若布娃娃價值200元,那麼老闆可以獲利一倍!
越多人玩,老闆賺越多!
這也就是獎品價值約在200元左右的原因!

換言之,若有五人同時坐下去,就可以期待大概會有一個人中獎了!
看起來很容易中獎,但其實已經經歷了
30局才有一人中獎!老闆利用6局一百的促銷以展現高獲勝率的觀感
讓你以為你是花
20元就可以中到一隻200元的布娃娃!其實已經有約五人貢獻出共約500元啦!

況且加入高達40.68%不算中獎,只能重玩一次的聽牌機制;而聽牌成功率又高達26.47%,這樣的遊戲不是很誘人嗎?

這樣子有解答各位的疑問了嗎?


電腦給我們什麼幫助?鷹架理論!
在追求理論機率值的過程中,從完全不知道怎麼解這個題目,到後來完全破解,電腦從中扮演了什麼樣的角色?電腦如何能幫助人類思考,這一直是我想要追求的目標!電腦是一樣人類全新擁有的工具,但不是你用語音輸入法說完題目,答案就會跑出來!況且那樣子你也沒學到數學!電腦怎麼幫助人類思考,這才是我好奇的地方!

回顧我的思考歷程,我可以提出幾點電腦對我解題的幫助:
  1. 電腦在我沒有任何想法時,提供了暴力模擬解法,使我對這一題目有基本的瞭解,至少穩定下畏懼的心。 
  2. 由大量模擬的對獎檢查動作,讓我思考到將所有排列組合依序帶入檢驗的暴力破解法。
  3. 由於暴力破解法的低落效率,並發現有許多檢查動作是可以一次計算的,讓我思考如何提出理論上的算法。 
  4. 電腦提供4×4方陣的答案,提供了摸索的鷹架,也提供檢驗自己想法的機會(很重要) !
  5. 由於僅有答案仍然會不知到自己的想法錯在哪裡?所以我加入了顯示連線狀態的示意圖,這對我自己想法的缺失檢驗也提供了很重要的幫助! 
  6. 最後藉由4×4方陣的算法推廣至6×6方陣,這樣的學習鷹架是由電腦提供協助一步一步搭建的,電腦提供了快速檢查自己想法的直觀機會! 

很直覺的讓我想到維高斯基提出的鷹架理論,學習是需要幫助的,教師並非幫學生做,而是從旁提供鷹架,好像蓋房子一樣,鷹架終究是要拆除的!解題思維、練習本等等,都是學習的輔助鷹架,直至學會之後,這些東西都可以撤除。電腦在此也是提供我做為學習的鷹架,讓我一步一步的學到怎麼解題(一步登天是不可能的!)

但是利用電腦學習前提是學習者要懂電腦!而像我可以自由悠遊在電腦與數學中的人並不多,但這也不代表電腦與一般大眾無緣,除了建立大眾至少應學習一套程式語言之外,如何再降低電腦使用的門檻也是一項可努力的目標!會選擇EXCEL做為本專輯的程式語言,就是在於他相對於其他的電腦語言如:CMatlabFortran等語言,入門的門檻是較低的。

有關釐清電腦與數學教學的關係,仍有一段很長的距離要走,可以確定的是,使用電腦不代表腦筋就不必思考,而是刺激與促進思考的歷程!

下面是兩張我在軍中想夜市麻將賓果問題的手稿,很多軍中弟兄看到就說我在寫天書,事實上,這只是我用我看的懂得符號記錄下來而已,沒有什麼新意,不是有了電腦,就不必用紙筆了(反而用的更兇!)!

4x4
方陣計算手稿

6x6
方陣計算手稿




數學--不同方法均會指向同一個事實的魔術
其實,我並不大相信會有人仔細的把這十二篇文章看完且弄懂。但是這是我在軍中自己出給自己的功課,我必須對自己屢約。我猜,很多人在我已經模擬六百萬次,得到統計機率值後,又得知我要開使用古典機率的方法求出理論機率值,應該是心想:挖靠,甲罷太閒,這種網誌我也是拉過去而已,有必要搞到這麼複雜嗎?啊不是得到差不多的值就好了!但得到真實機率值是一種樂趣,並非一種痛苦,不是無法樂在其中的人能下定論的!

本來我也想說統計機率值出來就好了,不過這好像上癮了一樣,突破一個難關又發現前面的目標已經不遠。這十二篇網誌,每一篇在寫的時候,我都不知道下一篇該怎麼去算,更何談怎麼寫!當兵的一年很快就過去了,我從十一月開始想這問題,到退伍時已經六月底,完完整整的解答了這個問題。最後,我就要來比較統計機率值與理論機率值的差異。



提供一些網路上探討夜市麻將賓果機率的網站 
以下是搜尋過目前網路上,探討夜市麻將賓果較具規模的網頁。如果網頁主認為不適合放上連結,請留言與我聯繫,我將立即撤下連結。 

小益的布拉格廣場 - [小門]98年全縣科展數學科第一名

http://forum.pcdvd.com.tw/showthread.php?t=677362
請問大家一個機率問題,不然我沒法上班了!



經過努力後,難解的問題必將突破!
套句數學家希伯爾特(1862-1943)的名言:
 

 Wir müssen Wissen.
Wir warden wissen
(我們必須知道。
我們將會知道。)

感謝大家看完這個數學專輯,也請多多給予意見!
謝謝囉~下次數學網誌再見!

     ※     ※     ※
由於本篇網誌是原創網誌,還期待各位數學先進給予指導,尤其是統計的部分!請不吝於下方留言處留下意見,感激~

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Reply
  • 1樓

    1樓搶頭香

    嗯哼~
    真是深奧XDD"

  • starfish26 at June 25, 2009 04:44 AM comment | prosecute
  • 2樓

    2樓頸推

    我要是你長官,就扣押你這些手稿,給你套上意圖通敵的大帽子,要脅你
    多做些勤務。

  • 家銘 at July 13, 2009 06:01 PM comment
  • 幸好我已經逃離那裡了~

  • Blog Owner at July 13, 2009 08:37 PM Reply
  • 3樓

    3樓坐沙發

    你好
    方便跟你要程式碼嗎??連結已經都失效

    謝謝

  • eugenecool at January 22, 2011 11:38 AM comment | prosecute
  • 您好:
    請留下聯絡方式與個人資訊,並說明一下用途~
    在不獲得任何利益的情況下,程式可以免費作為研究使用。

    若要引用(包含改良與發表)請著名出處~
    我要找一下程式檔案才能給您回覆~

  • Blog Owner at January 22, 2011 03:40 PM Reply
  • 4樓

    福樓

    請問這篇的解法之所以有出入的原因
    可否請您解答
    http://www.wretch.cc/blog/ssbin/32786370

    謝謝唷~

  • 阿學 at May 17, 2012 04:03 PM comment
  • 5樓

    專業的5樓

    http://www.wretch.cc/blog/alenbehp1000/32422992
    跟上面這篇

  • 阿學 at May 17, 2012 04:10 PM comment
  • 一開始在取一連線以上的方法數上有一點思考的問題,
    因為一連線有14種,作者的取法是考慮這14種的任一種情形,
    所以先取一線用去6張,剩下可選的9張任意排進其餘的30格內!
    這樣有個問題:
    考慮恰好是第一行和第二行均連線的二連線情況,
    那就會在單獨計算第一行連線時,包含這種狀況;
    但是又在單獨計算第二行連線時,重複包含這種狀況。
    所以二連線的情況被多估了一次!
    所以總共一連線以上的情況被高估了!

    我的方法是針對每一種情況做窮舉法,這種方法蠻笨的,不過恰好可以仔細的計算核對總數是否相符,應該沒有問題!您可以看看計算理論機率的那一篇。

    謝謝你提出問題與我討論,可否登入留言呢?很樂意討論數學,謝謝!


    附帶一提:
    最近讀到一篇教授寫的數學文章,說不能夠用增加模擬數量的方式來說明信心水準的加倍!
    所以有關信心水準加倍的討論部分請忽略他吧!有空我會把那一部份修掉的!請見諒!

  • Blog Owner at May 17, 2012 07:40 PM Reply
  • 6樓

    6樓

    Sealed

  • Sealed at May 18, 2012 09:06 AM comment
  • 7樓

    7樓

    哈哈

    忘了用悄悄話了
    加了我之後
    能幫我把7樓的留言刪掉嗎

    謝你~^^

  • 阿學 at May 18, 2012 09:07 AM comment
  • 8樓

    8樓

    請問可以貼你的文嗎
    我會註明出處
    謝~

  • 阿學 at May 31, 2012 02:55 PM comment
  • OK~歡迎多多討論~謝謝~

  • Blog Owner at May 31, 2012 05:35 PM Reply
  • 9樓

    9樓

    太棒了! 原來不是我太衰 是真的這麼難中!!

    一開始GOOGLE到這篇
    http://www.wretch.cc/blog/alenbehp1000/32422992
    機率高的離譜! 超懷疑的!

    寫個程式來模擬 http://codepad.org/tobXn3Eu
    結果在 0.035x ~ 0.036x 之間,跟你算的一樣

    但是你說聽牌 26.47% 好懷疑 昨天完了12場一場都沒聽...

  • Gipa at January 15, 2013 08:28 PM comment
  • 您好:
    很謝謝您仔細的看我的文章,並留言我討論。
    您能寫C++真的很厲害,我之前是用Matlab跑過,然後改成Excel來跑比較大眾化。
    26.47%指的是已經可以補五支的聽牌狀況下,達成了聽排成功(可重玩一次)的機率。而光是玩這遊戲,可以聽牌的機率更高達40.687%。
    事實上我玩的結果總是很容易老闆叫我再補五支,結果卻補不中(不能當作不算,再重玩一次)。

    實際上,聽牌+補中的機率就是兩者相乘,僅10.77%可以獲得重玩而已。老闆根本沒什麼損失。連12場卻沒法聽牌也沒中,這樣可能只是恰好吧。
    這篇文章寫很久了,很高興能有高手與我一同討論。

  • Blog Owner at January 17, 2013 12:19 AM Reply
  • 10樓

    10樓

    感謝你解除我的疑惑!!

    玩一局能聽牌的機率居然有 40.687% 這麼高!

    代表那天我真得很衰...

    所以說如果加上聽牌的機制,那玩一局中獎的機率

    (100% + 10.77%) * 3.58% = 4% 也是頗低的

  • Gipa at January 21, 2013 09:18 AM comment
  • 其實真的下去玩,會發現要聽牌就很不容易了!
    只是我們都會放大那個別人中獎的感覺~覺得自己也會中獎!
    這就是人的心態吧~

  • Blog Owner at February 1, 2013 06:30 PM Reply
  • 11樓

    11樓

    最近好像有一種新玩法
    摸12張牌6局一百元,沒有聽牌
    之所以吸引人是因為娃娃都是價值1500以上那種超大娃娃
    前幾天我玩80局(老闆送我很多局所以只花了1200)在最後六局內中兩隻
    摸12張應該是我覺得有使以來最難中的吧
    請問版大機率是多少呢?

  • 阿元 at April 13, 2013 08:00 AM comment | email
  • 12樓

    12樓

    我把這系列差不多整個看完了,佩服版大的精神與毅力!
    (我連看這個都花了好多天 XD)
    身為數學與統計出身的我看完總得幫你推一下人氣~!
    我之前就好奇過這個問題,最近工作又看到類似的遊戲,
    本來想說寫個程式跑一下就解決了,
    先Google一下,不同的程式和理論你都算好了 xD

    希望有機會還能看到其他有趣的題目 ~XD

  • YiChienBoYi at August 18, 2013 02:55 AM comment | prosecute
  • 謝謝你~弄懂數學的快樂最令人感到孤獨,能遇到知音真有無比的開心。
    當初真的很希望有人能分享與了解這份快樂,所以把他當功課在當兵期間的假期,每週每週的往前推進度。
    很開心有數學科系的人看到我的網誌。有機會也可以交流一下做出來的小小成果阿~數學其實很生活的,對吧~
    以後歡迎繼續交流進步喔~

  • Blog Owner at August 20, 2013 08:08 PM Reply
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